例えば，次のような６つの順列を思い描いてみる。
1,2,3,4,5,6,7
1,3,2,4,5,6,7
2,1,3,4,5,6,7
2,3,1,4,5,6,7
3,1,2,4,5,6,7
3,2,1,4,5,6,7
「順序が 1,2,3 で指定された」ということは，
上記の６つ(3!)のパターンのうち最上位の１パターンだけを有効と考える，
つまり，６パターンを１パターンに集約できる(\(\frac{1}{3}\)!)ということ。
「順序が 6,7 で指定された」も同様に考える(\(\frac{1}{2}\)!)
よって，7!/(3!2!)＝420

1,2,3と6,7はそれぞれ塊で、間に他の数字が入らないということですから、
例えば、
　(1,2,3),4,5,(6,7)
　(1,2,3),4,(6,7),5
　(1,2,3),5,4,(6,7)
　(1,2,3),5,(6,7),4
　(1,2,3),(6,7),4,5
　(1,2,3),(6,7),5,4
　4,(1,2,3),5,(6,7)
　4,(1,2,3),(6,7),5
　・・・・・・・・・
のような並び方の総数ですね。

(1,2,3)を１文字Ｘ、(6,7)を１文字Ｙとして、
Ｘ,4,5,Ｙの４文字の順列と考えられますから

　４×３×２＝２４通り　　（答え）

ちなみに、問題文の「この順序で」の解釈につっこむ余地は無いと思いますが、
例えば、
　4,＜6＞,(1),5,(2),＜7＞,(3)
のように、
　1は2より、2は3より左にあればよい。
　6は7より左にあればよい
という問題であれば、、、、

んんっ？
意外とややこしい？
・・・考え中・・・　＾＾；

難しく考えることはありません。
まず、１，２，３を考えると
７個の数字から３個の数字をとりだす方法で、並び方はただ１通りなので
7Ｃ3通り
残りの４個の数字うち６，７を取り出せばよく、その並び方もただ１通りだから
4Ｃ2通り
残りは４と５
この並び方は２通りある
以上から
7Ｃ3×4Ｃ2×２＝４２０通り・・・（答）

なるほど。
つまり最初のJJon.comさんの解答は、

　　1は2より、2は3より左にあり、6は7より左にある並び方の総数

だったのですね。

この場合の私の考え方を別解として紹介させていただくと、
まず、固定された1,2,3の間に6,7を置くとして、その場所は
　　○△１２３
　　○１△２３
　　○１２△３
　　○１２３△
　　１○△２３
　　１○２△３
　　１○２３△
　　１２○△３
　　１２○３△
　　１２３○△　　　（○：６、△：７）
の１０通りあります。
これは、質問＜2617＞の①で、けんさんの解答で示された考え方が使えます。
つまり 5Ｃ2 通り。
次に、４，５の二つを追加すると、同じ考え方で 7Ｃ2 通りですが、
５，４と順番がひっくり返ったものがありますから、×２。
それらが 5Ｃ2 通りのそれぞれに対してあるので、掛け合わせて

　5Ｃ2×7Ｃ2×２＝４２０ 通り


ところで、つまるところこの問題の「この順序で」というのは、
『1,2,3と6,7はそれぞれかたまりで、その間に他の数字は入らない』
という解釈で２４通りの答えが妥当かと思いますが、どうでしょう？
難度がぐっと下がるので、問題としては面白くないですけど。