質問

関数ｆ（ｘ）＝x^3-3a^2xがある。
-2≦X≦2におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ。
ただし、0＜a＜2とする。
この問題についてお願い致します。
場合わけの仕方がよくわかりません。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／６
from=angel

極小値・極大値と、区間の端での値をそれぞれ計算しておく。
どれが最大・最小になるか、境界が出てくるはずなので、それを把握する。

導関数 f'(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)
0＜a＜2 のため、-2≦x≦2 においては、x=-a で極大、x=a で極小

　f(2)=-6a^2+8
　f(-a)= 2a^3

　f(-2)=6a^2-8=-f(2)
　f(a)= -2a^3 =-f(-a)

f(-a)≧f(2)
⇔ 2a^3≧-6a^2+8
⇔ a^3+3a^2-4≧0
⇔ (a-1)(a+2)^2≧0
⇔ 1≦a＜2 (∵0＜a＜2のため)

よって、
1≦a＜2 の時、
　f(-a)≧f(2)、f(-2)=-f(2)≧-f(-a)=f(a)
　よって、最大値 f(-a)=2a^3, 最小値 f(a)=-2a^3
0＜a＜1 の時、
　f(-a)＜f(2)、f(-2)=-f(2)＜-f(-a)=f(a)
　よって、最大値 f(2)=-6a^2+8, 最小値 f(-2)=6a^2-8