\(x^{96}\)+\(x^{95}\)を\(x^{4}\)+\(x^{3}\)+\(x^{2}\)+x+1で割った余りを求めよ。
という問題で、どのように解答をすればいいのか手順がわかりません。
教えて下さい。
質問＜２８９７＞などで、Σの記号が出てくるのはなぜでしょうか。
★希望★完全解答★
\(x^{96}\)+\(x^{95}\)を\(x^{4}\)+\(x^{3}\)+\(x^{2}\)+x+1で割った余りを求めよ。
という問題で、どのように解答をすればいいのか手順がわかりません。
教えて下さい。
質問＜２８９７＞などで、Σの記号が出てくるのはなぜでしょうか。
★希望★完全解答★
質問＜２８９７＞で Σ記号が使われているのは
{(x-1)A+1}^19 の部分を二項定理によって展開しているからです。
※二項定理
（ａ＋ｂ）^n＝Σ(k=0～n) nＣk・ａ^(n-k)・ｂ^k
この問題は方程式の理論等よりも因数分解、展開、整式の計算能力を
試すものだと思われますので、その方法で解いてみました。
ｆ(ｘ)＝ｘ＾96＋ｘ＾95＝(ｘ＋１)(ｘ＾95－１)＋ｘ＋１
＝(ｘ＋１)ｇ(ｘ)＋ｘ＋１ とおく ．．．①
ｇ(ｘ)＝ｘ＾95－１＝(ｘ－１)(ｘ＾94＋ｘ＾93＋ｘ＾92＋ ．．．＋ｘ＾2＋ｘ＋１)
ここで ｘ＾4＋ｘ＾3＋ｘ＾2＋ｘ＋１＝ｈ(ｘ) とおく
すると、
ｇ(ｘ)＝(ｘ－１)(ｘ＾90＋ｘ＾85＋ｘ＾80＋ ．．．＋ｘ＾10＋ｘ＾5＋１)ｈ(ｘ)
すなわち、ｇ(ｘ) は ｈ(ｘ)で割り切れる
したがって、①において、(ｘ＋１)ｇ(ｘ)も ｈ(ｘ)で割り切れる
明らかに、ｘ＋１はｈ(ｘ)で割り切れないので
余りはｘ＋１である