質問＜３２８５＞2006/7/3
from=ピンキー
「幾何学」

(1)集合Xが可算であるという定義を述べよ。

(2)整数の集合Zが可算であることを証明せよ。　

★完全解答希望★

お便り２００６／７／２３
from=たなか

（１）自然数からなる集合N=｛１，２，３、－－、ｎ、－－｝と、
　　　集合Xとの間に、全単写の写像ｆ：N→Xがあるとき、
　　　集合Xは加算集合という。

（２）集合Nから集合Zへの写像として次の写像を定義する。
　　　ｆ（１）＝０
　　　ｆ（２）＝１
　　　ｆ（３）＝－１
　　　ｆ（４）＝２
　　　ｆ（５）＝－２
　　　－－－－－－－－
　要するに、ｘが偶数のとき、ｆ（ｘ）＝ｘ÷２
　　　　　　ｘが奇数のとき、ｆ（ｘ）＝－｛（ｘ＋１）÷２｝＋１
　とすれば、写像ｆ：N→Zは、全単写である。従って、整数の集合Zは、加算である。

お便り２００６／８／１１
from=たなか

　一般的に、集合Aと集合Bとの間に全単写の写像があるとき、集合Aと集合Bの濃度が
等しい、といいます。要するに要素の個数が等しいのですね。

　この問題をよく考えると、自然数からなる集合Nと、整数からなる集合Zとの濃度は、
等しいことになります。集合Nは集合Zの部分集合なのに濃度は等しいのです。

　それでは、実数Rの濃度はどれくらい大きいか？集合Nよりも多いことは、比較的簡単に
証明できます。では、何番目の無限か？「これは決定できない」ことを、ゲーデルと
コーエンが証明しています。
　ちなみに、集合Nの濃度をアレフ０と呼んでいます。アレフ０は、無限の中で最小の
濃度なんです。