１）
　　ａ）ｆ（ｚ）＝ｚバー
f(z)=u+ivとおくと、u=x,v=-y
ここで、コーシーリーマンの方程式を満たすか確かめる。
∂u/∂x=1,∂v/∂y=-1より∂u/∂x≠∂v/∂yだから、正則でない。
　　ｂ）ｆ（ｚ）＝ｘ＾2+iy＾2
同様にu=\(x^{2}\),v=\(y^{2}\)で
∂u/∂x=2x,∂v/∂y=2y ∂u/∂y=0,∂v/∂x=0より、
x=yでは、∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xを満たすが、これは領域で正則でない。

２）次の値を求めよ
　　ａ）ｅのｉπ乗－ｅのｉπ/4乗
　　ｂ）ｃｏｓ（π/4+i)
公式e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)の利用
cos(z)の定義および３）は複素関数論の本にはほとんど書いてあると思います。
調べてください。

完全解答ではありません，あしからず。
未解決質問＜２９３８＞と同じ質問です。

質問３３１９（３）を教えて下さい。

z=x+iy
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおく。以後u(x,y)=u,v(x,y)=vとかく。
h=|f(z)|=\(u^{2}\)+\(v^{2}\)
また、偏微分∂h/∂xを入力大変なのでd\(\frac{h}{d}\)xや\(h_{x}\)で
また、∂＾2h/∂x＾2を\(d^{2}\)\(\frac{h}{d}\)\(x^{2}\)や\(h_{x}\)_xで表します。
　　\(d^{2}\)\(\frac{h}{d}\)\(x^{2}\)=\(\frac{d}{d}\)x(d\(\frac{h}{d}\)x)
=\(\frac{d}{d}\)x(2u\(u_{x}\)+2v\(v_{x}\))
　 　　　　　=2{(\(u_{x}\)\()^{2}\)+u\(u_{x}\)_x+(\(v_{x}\)\()^{2}\)+v\(v_{x}\)_x}
同様に、
　　\(d^{2}\)\(\frac{h}{d}\)\(y^{2}\)=\(\frac{d}{d}\)y(d\(\frac{h}{d}\)y)
=\(\frac{d}{d}\)y(2u\(u_{y}\)+2v\(v_{y}\))
　 　　　　　=2{(\(u_{y}\)\()^{2}\)+u\(u_{y}\)_y+(\(v_{y}\)\()^{2}\)+v\(v_{y}\)_y}
ここで、コーシーリーマンの方程式から
\(u_{x}\)=\(v_{y}\),\(u_{y}\)=-\(v_{x}\)が成り立ち、
正則条件から\(u_{x}\)_y=\(u_{y}\)_x,\(v_{x}\)_y=\(v_{y}\)_xが成り立つことに注意すると,
\(u_{x}\)_x=(\(u_{x}\))_x=(\(v_{y}\))_x=\(v_{y}\)_x,
\(u_{y}\)_y=(\(u_{y}\))_y=(-\(v_{x}\))_y=-\(v_{x}\)_y
より、\(u_{x}\)_x+\(u_{y}\)_y=0であり、同様に \(v_{x}\)_x+\(v_{y}\)_y=0
よって、
　左辺=\(d^{2}\)\(\frac{h}{d}\)\(x^{2}\)+\(d^{2}\)\(\frac{h}{d}\)\(y^{2}\)
=4{(\(u_{x}\)\()^{2}\)+(\(u_{y}\)\()^{2}\)}
=4|f'(z)|^2
=右辺

（２）について、よくわかりません。ご指導を。

e^(iπ)-e^(iπ/4)

e^(x+iy)=(\(e^{x}\))(cosy+isiny) という公式があります。
この問題は，e^(iπ)もe^(iπ/4)どちらも実部が0ですから，上の式にx=0
を代入すると，もっとよく知られている公式になります。
それが最初にUnderBirdさんが解説されている，
e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)
の式です。
あとは代入するだけ。
e^(iπ)
=cosπ+isinπ
=-1
同様に
e^(iπ/4)
=cos(π/4)+isin(π/4)
=1/\(\sqrt{\quad}\)2+i/\(\sqrt{\quad}\)2
以下の計算は省略します。

cos(i+π/4)

単純に以下の公式
cos(x+yi)=[{\(e^{y}\)+e^(-y)}/2]*cosx-i[{\(e^{y}\)-e^(-y)}/2]sinx
にx=π/4とy=1を代入してください。


みのるさんへ
幾何学Ⅱ，解析学Ⅱ，解析学Ⅲ，代数学Ⅱ…といろいろ大変だとは思いますが，
一つ一つ着実に学習されることを強くお勧めします。