極限値があるとすればどのような値になるのかを予想してみます。
それには，極限値を x とおき，漸化式において n→∞ の極限をとり，
x=lim[n→∞]a_n+1n+2)=\(\sqrt{\quad}\)(x+c)
となることから，x≧0 でなければならないことに注意して，
両辺を2乗して得られる2次方程式
x²-x-2=0
の正の実数解 x=2 が極限値だとわかります。

ただし，上の議論はあくまでも「収束するとしたら極限値は 2」という収束することを
前提とした議論ですので，ちゃんと 2 に収束することを示さなければなりません。

それには lim[n→∞]|a_n-2|=0 となることを示せばよいので，
漸化式の両辺から 2 を引いてみます。
a_n+1-2=\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)-2.
この右辺に (\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)+2)/(\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)+2) をかけると，
\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)-2=(a_n-2)/(\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)+2)
となります。
よって，
|a_n+1-2|=|a_n-2|/(\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)+2)
となりますが，\(\sqrt{\quad}\)は必ず 0 以上の値なので，右辺の分母は
\(\sqrt{\quad}\)(a_n+2)+2≧2
という不等式をみたします。よって
|a_n+1-2|≦|a_n-2|/2
が n=1,2,... に対して成り立ちます。
この不等式を繰り返し用います。例えば，
|a_n-2|≦|a_n-1-2|/2
の右辺に
|a_n-1-2|≦|a_n-2-2|/2
を代入しても不等号の向きは変わらず，
|a_n-2|≦|a_n-2-2|/2²
となります。さらにこの右辺に
|a_n-2-2|≦|a_n-3-2|/2
を代入して，
|a_n-2|≦|a_n-3-2|/2³
といった具合です。こうして
|a_n-2|≦|a₁-2|/2^n-1n-1
という不等式が得られます。厳密にはこの不等式が成り立つことを n に関する
数学的帰納法で証明する必要があります。
あとは |c-2| の値が何であれ，lim[n→∞]|c-2|/2^{n 0=lm[n→∞]0≦lm[n→∞]|a_n-2|≦lm[n→∞]|c-2|/2n-1 を得て，はさみうちの原理により lm[n→∞]|a_n-2|=0 が導かれます。}