＜質問２０７２＞を見てください。

ご賢察の通り，f(x)=1+logx+1/(2\(\sqrt{\quad}\)x)　とおいて，微分します。

f'(x)
=\(\frac{1}{x}\)-(\(\frac{1}{4}\))*x^(-\(\frac{3}{2}\))
=(4\(\sqrt{\quad}\)x-1)/4x\(\sqrt{\quad}\)x

f'(x)=0のとき，x=\(\frac{1}{4}\) に注意して増減表を書きます。(x＞0)
x=\(\frac{1}{4}\)　のときにf(x)は極小値かつ最小値を取ることが分かります。

f(\(\frac{1}{4}\))=2-log4＞0 より，
f(x)=1+logx+1/(2\(\sqrt{\quad}\)x)＞0 であることが証明されました。

f'(x)=0のとき，x=\(\frac{1}{4}\) に注意して増減表を書きます。(x＞0)
x=\(\frac{1}{4}\)　のときにf(x)は極小値かつ最小値を取ることが分かります。

x=\(\frac{1}{4}\)　は誤りで，質問２０７２の解答の通り，x=\(\frac{1}{16}\)　が正しい値です。
流れとしては前記の質問に対する解答と同様です。失礼しました。