問１
ちょっと変なので、問題の間違いだと思います。

問２
部分分数分解と言います。
分母が因数分解できるときは、２つの分数式に分けることが出来ます。
分母の次数より分子の次数は１つ以上小さく取って、
２ｋ－１は１次式だから、０次式（定数）ａとおきます。

　　　　　ａ　　　　ｂ　　ａ（２ｋ＋１）－ｂ（２ｋ－１）
右辺＝────－────＝───────────────
　　　２ｋ－１　２ｋ＋１　　（２ｋ－１）（２ｋ＋１）

　　　（２ａ－２ｂ）ｋ＋（ａ＋ｂ）
　　＝──────────────
　　　　（２ｋ－１）（２ｋ＋１）

　　　　　　　　　１
左辺＝──────────────
　　　　（２ｋ－１）（２ｋ＋１）

右辺と左辺を見比べて、
｛２ａ－２ｂ＝０
｛ａ＋ｂ＝１

　　　　　　　　１
４ａ＝２　∴ａ＝─
　　　　　　　　２

　　　１
∴ｂ＝─
　　　２

したがって、
　　　　　１　　　　１
　　　　　─　　　　─
　　　　　２　　　　２　　１　　　１　　　　　　１
右辺＝────－────＝─｛──────－──────｝……（答）
　　　２ｋ－１　２ｋ＋１　２　（２ｋ－１）　（２ｋ＋１）

問３
ａ_n+1－ａ_n ＝３（ａ_n －ａ_n-1）
ｂ_n ＝ａ_n+1－ａ_n とおくと、
ｎのところにｎ－１をいれて、
ｂ_n-1＝ａ_n－ａ_n-1より、

ｂ_n ＝３ｂ_n-1……（答）

となります。