質問＜６４９＞２００１／９／２７
from=ゆうき
「数列」

①初めの10項の和が4.その次の20項の和が24である。さらにその次の
30項の和を求めよ。ただし、公比は実数とする。
②初項ａ、公差ｂの等差数列の第5項までの和が10であり、初項a，
公比ｂの等比数列の第5項までの和が16ぶんの31であるとき、
ａ，ｂの値を求めよ。

お便り２００１／１０／２
from=Hoshino

① 与えられた等比数列を {a_n} 公比を r  (∈R) とする。
第 n 部分和を S_n と置くと, 題意より明らかに r ≠ 1 で
S_10 = a_1(r^10 - 1)/(r - 1) = 4.
S_20 - S_10 = a_1・r^10(r^20 - 1)/(r - 1) = 24
(初項 a_11, 公比 r の等比数列の 20 項の和だから).
下の式を上の式で割る。
r^10・(r^20 - 1)/(r^10 - 1) = 6
r^10・(r^10 + 1) = 6
(r^10)^2 + r^10 - 6 = (r^10 - 2)(r^10 + 3) = 0.
r^10 = 2, -3 だが r ∈R より r^10 = (r^2)^5 > 0 だから
r^10 = 2.
従って, 求める S_30 - S_20 は初項 a_21, 公比 r,
項数が 30 の和だから
a_1・r^20(r^30 - 1)/(r - 1)
= (r^10)^2・a_1(r^10 - 1)(r^20 + r^10 + 1)/(r - 1)
= 4・[a_1(r^10 - 1)/(r - 1)]・((r^10)^2 + r^10 + 1)
= 4×4×(4 + 2 + 1) = 16×7 = 112.

② 題意より
5(2a + 4b)/2 = 10 (⇔a + 2b = 2⇔a = 2 - 2b)
b = 1 の時は a = 0 だから等比数列の和も 0 になるので
b ≠1. 従って題意より
a(b^5 - 1)/(b - 1) = 31/16.

代入して
2(1-b)(b^5 - 1)/(b - 1) = 31/16.
-2(b^5 - 1) = 31/16
32(b^5 - 1) = -31
32 b^5 - 32 = -31
32 b^5 = 1
b^5 = 1/32 = 1/2^5.
故に b = 1/2.
a = 2 - 2b = 2 - 1 = 1.