誰かアドバイスを下さい。
h.k.さん本人からアドバイスが届きました。感謝！？
CharlieBrownさんから解答が届きました。感謝！！

質問＜785＞「トランプ乱数取出の期待値，Σ」の質問者本人です。
過去の質問を片っ端から調べてみたのですが，

質問＜785＞h.k.「トランプ乱数取出の期待値，Σ」
[ a ]… 51×Σ{i=1～∞} \(\frac{i}{5}\)\(2^{i}\)
質問＜388＞ももっち「Σの計算」
　　Ⅲ… Σ{k=1～ｎ} k*\(3^{k}\)

この２つの式はなんだか似てるなぁ…なんて思ったりしました。
等比数列の和の公式を使っている，ということはいちおう調べました。
数学は苦手ですのでそれだけです，
ごめんなさい。まだ解けてません(^_^;

h.k.さんの指摘の通り、2つのΣの式は同じ方法で計算します。
1枚目はどんな乱数が出ても必ず場にはトランプがあるので、1回の試行
でトランプを取り出すことができ、その確率は1ですから、1枚目の取出
し回数の期待値はE1＝1×1＝1となります。
2枚目のトランプ取り出しについて考えてみます。1枚目が除かれている
ので、乱数が除かれた場を指せばもう一度乱数を発生させなければなり
ません。従って、1回の試行で取り出す確率は\(\frac{51}{52}\)、取り出せない確率
は\(\frac{1}{52}\)です。よって、2枚目のトランプをk回の試行で取り出せる確率は、
それ以前の(k-1)回の試行全てで取り出せず、k回目でようやく取り出せ
る確率ですから、(\(\frac{1}{52}\))^(k-1)×\(\frac{51}{52}\)＝\(\frac{51}{5}\)\(2^{k}\)となります。よって、
2枚目の取出し回数の期待値は、
E2＝1×\(\frac{51}{52}\)＋2×\(\frac{51}{5}\)\(2^{2}\)＋3×\(\frac{51}{5}\)\(2^{3}\)＋…＋k×\(\frac{51}{5}\)\(2^{k}\)＋…という無
限級数を計算することになります。
これを計算するにあたって、そのk項目までの部分和Skを求めます。
51 51 51
Sk＝1×---＋2×-----＋…＋k×-----
52 5\(2^{2}\) 5\(2^{k}\)
1 51 51 51
--Sk＝ 1×-----＋…＋(k-1)×-----＋k×-----
52 5\(2^{2}\) 5\(2^{k}\) 52^(k+1)
両辺の差を求めれば、
51 51 51 51 51
--Sk＝1×---＋1×-----＋…＋1----- －k×--------
52 52 5\(2^{2}\) 5\(2^{k}\) 52^(k+1)
(\(\frac{51}{52}\))×(1-\(\frac{1}{5}\)\(2^{k}\)) 51
＝--------------------- －k×--------
1 - \(\frac{1}{52}\) 52^(k+1)
1 51k
＝1 － ----- - ---------
5\(2^{k}\) 52^(k+1)
52 52＋51k
∴Sk＝--- － ----------
51 51×5\(2^{k}\)
この第2項はk→∞で0に収束するので、結局E2＝\(\frac{52}{51}\)となります。
同様の計算を3枚目について行えば、E3＝\(\frac{52}{50}\)、ｎ枚目について行えば、
En＝52/(53-n) （ただしn=1,2,…,52）となります。
（ここで、0＜r＜1のとき、k×\(r^{k}\)→0(k→∞)という公式を用います）
従って、全てのトランプを取出す回数の期待値Eは、Enをn=1から52まで
加えた値で、
52 52 52 52
E＝----＋---＋---＋…＋---≒235.978
52 51 50 1
と求まります。