３次関数の上の点を接点とすれば、無数の接線が引けるので、
質問の意味が分かりません。もう少し詳しく説明してください。

お久しぶりです．ｄ３です．
質問＜８０５＞の主旨は次のことだろうと思います．
”３次関数では，（その３次関数を固定して考えれば），
接点が違えば接線が異なる”ということです．
つまり同一の直線が複数の接点をもたないということです．
多項式で表現される関数y＝f(x)については，
接線y＝f’(a)(x－a)＋f(a)とその関数ｙ＝f(x)とは，
連立方程式
｛y＝f(x)
｛y＝f’(a)(x－a)＋f(a)
yを消去した，方程式　f(x)＝f’(a)(x－a)＋f(a)・・・＃
では，x＝aで重解をもちます．
多項式関数についていうと，
”x＝aの点で接する”⇔”＃が重解をもつ”
ところが，f(x)を３次に限ると，重解があればx＝aだけです．
もうこれ以上重解をもちえないからです．
もつと次数が４次以上になってしまうので．
一般に，接点の個数≧接線の本数です．
４次関数をイメージすればわかると思います．
それでは．

説明不足で申し訳ありませんでした。
えっと、例えば点（０，ｋ）から曲線Ｃ：ｙ＝-x＾3＋３ｘ＾2に引いた
接線の本数を求めよ。という問題で、３次関数のグラフで接点が異なると、
接線が異なるということから接点の個数⇔接線の本数がいえる。
そこで、点（０，ｋ）から曲線Ｃに引いた接線の本数を調べるために、
曲線Ｃ上の点(t,-\(t^{3}\)＋３ｔ＾2）における接線が点（０，ｋ）を通る
ようなｔの個数を調べる。とありました。
これの解には、曲線Ｃ上の点(t,-\(t^{3}\)＋３ｔ＾2）における接線が
点（０，ｋ）を通るから　２t＾3－３ｔ＾2＝ｋ・・・①
３次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なるから、
ｔの３次方程式①の実数解の個数が、求める接線の本数に等しい。
赤くしてあるところが何でそうなるのかが解らないところです。
特に、３次関数のグラフでは接点が異なると接線が異なる、という
ところでまずつまずいてしまっています。これは３次関数に限らず
そうなのではないのでしょうか。
やっぱりわかりにくい説明かもしれませんが、よろしく御願いします。
（持っている問題集にはこれだけしか書いてないんです・・・）
この問題もあまり解らないので、問題の解答と平行して説明して
いただけるとありがたいです。

高校数学の窓を見させていただいています。
質問＜８０５＞についてなのですが、おおよそ
「３次関数f(x)に、ある点P(A.B)から接線を引くとき、
3（2）本の異なる接線が引ける。このときPの軌跡を求めろ」
という問いに対する解答の一部なのではないのでしょうか？
参考書では、３次関数に対し４次関数では
「接点の個数⇔接線の本数」ではないので
この手の問題には、質問にあったような表現をします。

「３次関数のグラフの接線は接点が異なると、接線が異なる」
を利用する事により、接線の一般式と３次関数を連立させた時の
解の個数＝接線の本数で、軌跡を求めさせる。
極大値（極小値）を二度取らないことから、わかることです。

つい先日まで大学入試を受けていましたが、
参考書に質問のような表記が出てくるのはこの問題だけだと思います。

ｄ３さんとtoshiさんからアドバイスをいただき、そう言うことかと
合点しました。
「３次関数は、接点の個数と接線の個数が１：１で一致する」ことは、
ｄ３さんが指摘の通り、「接点は連立の重解」のときだから、３次関数
は解３個の内２個が重解として使われるので、接線は１本しかないこと
が言える。
さて、質問の３次関数に対する接線の本数は、３次方程式の判別式によ
って求まる。質問＜３１＞を参照。

\(y=-x^{3}+3x^{2}\) を微分して、

\(y\prime =-3x^{2}+6x\)

３次関数上の接点 \(P(t,-t^{3}+3t^{2})\) を通る接線の方程式は、

\(y-(-t^{3}+3t^{2})=(-3t^{2}+6t)(x-t)\)

この接線が点Ｑ（０，ｋ）を通るから、計算して

\(2t^{3}-3t^{2}-k=0\)

３次方程式ができる。

この方程式の解の個数が、接点の個数になるから、接線の本数にもなる。

（上記の接点の個数と接線の個数が１：１と一致するから）

３次方程式 \(x^{3}+mx+n=0\) の判別式は \(R=(\frac{n}{2})^{2}+(\frac{m}{3})^{3}\) より、

\(t^{3}-\frac{3}{2}t^{2}-\frac{k}{2}=0\)

\(t=s-\frac{p}{3}=s-\frac{-\frac{3}{2}}{3}=s+\frac{1}{2}\) と置き換えて、

\((s+\frac{1}{2})^{3}-\frac{3}{2}(s+\frac{1}{2})^{2}-\frac{k}{2}=0\)

\(s^{3}-\frac{3}{4}s-\frac{1}{4}-\frac{k}{2}=0\)

したがって、

\(m=-\frac{3}{4}\) より、判別式にあてはめて、

\(R=(\frac{n}{2})^{2}+(\frac{m}{3})^{3}=(\frac{-\frac{1}{4}-\frac{k}{2}}{2})^{2}+(\frac{-\frac{3}{4}}{3})^{3}\)

\(=(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}k)^{2}-\frac{1}{64}=\frac{1}{16}k^{2}+\frac{1}{16}k=\frac{1}{16}k(k+1)\)

①Ｒ＞０のとき、
　　　ｋ＜－１，０＜ｋで、１実数解２虚数解より、
　　　　　接線は１本
②Ｒ＝０のとき、　　　ｋ＝０，－１で、１実数解と重解より、
　　　　　接線は２本
③Ｒ＜０のとき、
　　　－１＜ｋ＜０で、３実数解より、
　　　　　接線は３本