完全に間違いです。

\(\sqrt{\quad}\)５が無理数であることを示すために
\(\sqrt{\quad}\)５を有理数であることを使ってしまっています。

やはり\(\sqrt{\quad}\)２が無理数であるときの証明同様
ｍ×ｍ＝５n×nとやって証明していくよりほかはありません。

根本的に間違ってます。
無理数と仮定して、互いに素な2整数の比としてsqrt(5)をおいているところが
間違っています。

[解答]
sqrt(5)が有理数であると仮定すると、互いに素な2つの整数m,nを用いて、
sqrt(5) = \(\frac{m}{n}\) とおける。
両辺二乗して、分母を払うと
5\(n^{2}\)=\(m^{2}\) ・・・①
これより、\(m^{2}\)は5の倍数である必要がある。5は素数であるから、
mも5の倍数となり、・・・②
m=5k（k∈Z）とおいて①に代入して整理すると、
\(n^{2}\)=5\(k^{2}\)となり、\(n^{2}\)も5の倍数となる。先と同様の理由より、
nも5の倍数でなければならない。・・・③
②③より、m,nはともに公約数5を持つことになり、
これはm,nが互いに素であることに矛盾する。
これは、最初にsqrt(5)を有理数と仮定した点から生じた矛盾であるから、
ゆえに、sqrt(5)は無理数である。

左辺の\(\sqrt{\quad}\)5nが無理数？
\(\sqrt{\quad}\)5が無理数であることが証明されないうちに\(\sqrt{\quad}\)5nが無理数だと
言っていることになりますね。
これでは証明になりません。

背理法を使うのであれば、\(\sqrt{\quad}\)5は有理数と仮定します。
そうすると
\(\sqrt{\quad}\)5=\(\frac{n}{m}\)（nとmは互いに素）とおけます。
従って5\(m^{2}\)=\(n^{2}\)となるから、\(n^{2}\)は5の倍数
つまり、nは5の倍数です。
ここでn=5pとおくと
5\(m^{2}\)=25\(p^{2}\)より　\(m^{2}\)=5\(p^{2}\)
これは\(m^{2}\)が5の倍数。すなわちmが5の倍数ということです。
あれれ？　nとmは互いに素だったのでは？
同じ因数をもつってことは互いに素ではないので、矛盾となります。
従って、\(\sqrt{\quad}\)5無理数だということになります。

「\(\sqrt{\quad}\)5が無理数である」と仮定する。
途中の式が無くても、
「\(\sqrt{\quad}\)5は無理数である」
となる。
これは、何も証明していない。