等比級数の和の公式より
1/(1+r)=1/(1-(-r))
=\sum_{n=1}^{\infty} (-r)^{n-1}

この両辺を積分すると
左辺は
\int_\(0^{x}\) 1/(1+r)dr=log(1+x)
右辺の総和の各項は
\in\(t_{0}\)^{x} (-r)^{n-1} dr = (-1)^{n-1}/n x^{n}

よって，求める展開が得られる．

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ただし，これは厳密には「証明」ではないです．
積分と級数の交換やら，
そもそも最初の等比級数の和の公式は
-1＜r＜1なので定義域の問題もあります．
-1＜r＜1以外でも成立するなどなどの議論は
厄介なので，大学1年生くらいの微積分の教科書を
参照してください

よって，
log(1+x)
=
\sum_{n=1}^[\infty} ((-1)^{n-1}(n-1)x^{n})/n

(\(\frac{d}{d}\)x)(log(1+x))=1/(1+x)
　　　　　　　　=1-x+\(x^{2}\)-...
　　　　　　　　=Σ(-1\()^{n}\)(\(x^{n}\)) (|x|＜1)
これを積分すると。
log(1+x)=x-\(x^{2}\)/2+\(x^{3}\)/3-...
　　　　=Σ{(-1)^(n)/(n+1)}(x^(n+1))+C
x=0のとき両辺０だから、C=0
log(1+x)=Σ{(-1)^(n)/(n+1)}(x^(n+1)) (n=0..∞)