①は＜質問１９３８＞を参照してください。
なお、１９３８の回答でθを求める際に
私は単振動の合成を利用していますが
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝\(\sqrt{\quad}\)（３／２）から
両辺を平方して
２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１／２
ｓｉｎ２θ＝１／２から
θ＝（１／１２）πとしてもいいと思います。

②
ｘ＝（\(\sqrt{\quad}\)５＋１）ｃｏｓ（π／１０）
ｙ＝（\(\sqrt{\quad}\)５＋１）ｓｉｎ（π／１０）
なので
要はｓｉｎ（π／１０）が分かればいいですね。
ｓｉｎ（π／１０）を求めるには
いくつか方法がありますが
ここでは以下のとおり求めます。
概要だけにしておきます。
θ＝π／１０とおくと
３π／１０＝（π／２）－（２π／１０）なので
ｃｏｓ３θ＝ｓｉｎ２θ
三倍角の公式と倍角の公式から
４ｓｉｎ^2θ＋ｓｉｎθ－１＝０が導かれます。
二次方程式の解の公式から
ｓｉｎθ＝（\(\sqrt{\quad}\)５－１）／４

私の師匠から、sin18度には頂角36度、底角72度の二等辺三角形と頂角108度、
底角36度の二等辺三角形を使う有名な求め方があると教えてもらいました。

図が書ければ分かり易いのですが、できないので説明を。

頂角36度、底角72度の二等辺三角形ABCの頂点Aから下ろした垂線の足をDとし、
AB=AC=b、BD=DC=aとする。
BCをC側にbだけ延長した点をEとすると（CE=b）、
三角形CEAはCA=CE=bの二等辺三角形で、頂角Cは108度、底角は36度になります。

まず、この図を書いてください。

すると、sin18度は、\(\frac{a}{b}\)　なんですね。

ここで、三角形ABCと三角形EABが相似になっているので、対応する辺の比から、

2a : b = b : (2a + b)

がわかります。あとは、計算だけなので、解けると思います。

＜１０４３＞参照