\(\sqrt{\quad}\)e が出てくる以上、x=2 の所を基準に何かを見ていると考えるのが妥当でしょう。

f'(x)=-1/\(x^{2}\)・e^(\(\frac{1}{x}\))
f''(x)=(2x+1)/\(x^{4}\)・e^(\(\frac{1}{x}\))
であり、1＜x＜2 においては f''(x)＞0、下に凸なグラフとなるため、
x=2 の所で接線 y=g(x) を引くと、1＜x＜2 の範囲で f(x)＞g(x) です。

この g(x) は、
　g(x)=f'(2)・(x-2)+f(2)
　　= -\(\frac{1}{4}\)・\(\sqrt{\quad}\)e・(x-2)+\(\sqrt{\quad}\)e

よって、g(1)=\(\frac{5}{4}\)・\(\sqrt{\quad}\)e, g(2)=\(\sqrt{\quad}\)e
∫[1,2] g(x) dx = \(\frac{1}{2}\)・(g(1)+g(2))=\(\frac{9}{8}\)・\(\sqrt{\quad}\)e
※直線のグラフのため、台形の面積の計算と同じ

1＜x＜2 の範囲で f(x)＞g(x) のため、\(\frac{9}{8}\)・\(\sqrt{\quad}\)e ＜ ∫[1,2] f(x) dx

f(x)＝e^(\(\frac{1}{x}\))のx=2における接線の方程式は、
f'(x)=-{e^(\(\frac{1}{x}\))}/\(x^{2}\)より
y-\(\sqrt{\quad}\)e=-(\(\sqrt{\quad}\)e)(x-2)/4で、x=1におけるy座標の値は
(5\(\sqrt{\quad}\)e)/4になることを確かめてみてください。
あとは、x軸,x=1,x=2,接線で囲まれる台形の面積は
(9\(\sqrt{\quad}\)e)/8となります。