質問

f(x)＝e^(1/x)
と置くとき、

9/8√e＜∫[1,2]f(x)dx＜1/2(e+√e)

を証明しなさい。

というものです。
右側の不等式は、台形を作れば簡単なんですが、
左側の不等式が立ちません。

長方形を使って近似しても、４分割では足りないようです。
もちろん、８分割または、１６分割すれば証明できると思うのですが、
もっとエレガントな証明方法は、ないものでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／４
from=angel

√e が出てくる以上、x=2 の所を基準に何かを見ていると考えるのが妥当でしょう。

f'(x)=-1/x^2・e^(1/x)
f''(x)=(2x+1)/x^4・e^(1/x)
であり、1＜x＜2 においては f''(x)＞0、下に凸なグラフとなるため、
x=2 の所で接線 y=g(x) を引くと、1＜x＜2 の範囲で f(x)＞g(x) です。

この g(x) は、
　g(x)=f'(2)・(x-2)+f(2)
　　= -1/4・√e・(x-2)+√e

よって、g(1)=5/4・√e, g(2)=√e
∫[1,2] g(x) dx = 1/2・(g(1)+g(2))=9/8・√e
※直線のグラフのため、台形の面積の計算と同じ

1＜x＜2 の範囲で f(x)＞g(x) のため、9/8・√e ＜ ∫[1,2] f(x) dx

お便り２００６／４／４
from=UnderBird

f(x)＝e^(1/x)のx=2における接線の方程式は、
f'(x)=-{e^(1/x)}/x^2より
y-√e=-(√e)(x-2)/4で、x=1におけるy座標の値は
(5√e)/4になることを確かめてみてください。
あとは、x軸,x=1,x=2,接線で囲まれる台形の面積は
(9√e)/8となります。