質問＜９４２＞２００２／９／２
from=ひぐらし
「空間ベクトル」

三次元の直交座標系のベクトル
 u1=(1,1,1) , u2=(2,-1,3) , u3=(4,1,5) の
線形結合 v=a1u1+a2u2+a3u3 において、
係数 a1,a2,a3 を実数の範囲で自由に変化させたときに
 v がとることのできる範囲はどれか。

　１．原点及び点(1,4,0),(0,3,-1)を通る平面
　２．原点及び点(1,2,-1),(2,0,1)を通る平面
　３．原点及び点(3,0,4),(0,2,-2)を通る平面
　４．原点及び点(3,-3,5)を通る直線
　５．三次元の空間全体

よろしくお願いします。

お便り２００２／９／３
from=phaos

det(u_1 u_2 u_3) = 0
だから 5 ではない。
(3, -3, 5)//u_1 ではないから 4 でもあり得ない。
だから 1, 2, 3, のどれかだろう。

さて
2. で (1, 2, -1), (2, 0, 1) と u_1 で
行列式を調べてみると 0 にならない。
3. でも同様。
ということはありうるのは 1. しか無い。

実際, v = s(1, 4, 0) + t(0, 3, -1) とすると
s = 1, t = -1 の時 v = u_1,
s = 2, t = -3 の時 v = u_2,
s = 4, t = -5 の時 v = u_3 となる。

逆に v = a_1u_1 + a_2u_2
と置くと
a_1 = 3, a_2 = -1 の時 v = (1, 4, 0),
a_1 = 2, a_2 = -1 の時 v = (0, 3, -1),
a_1 = 2, a_2 = 1 の時 v = u_3.

従って答は 1.